Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，DE∥AB，DE交BC于E，交AC于F，DE=BC，∠CDE=∠ACB=30°．
（1）求证：△FCD是等腰三角形；
（2）若AB=4，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）首先根据平行线的性质得出∠DEC=∠B=90°，然后在△DCE中根据三角形内角和定理得出∠DCE的度数，从而得出∠DCF的度数，在△CDF中根据等角对等边证明出△FCD是等腰三角形；
（2）先证明△ACB≌△CDE，得出AC=CD，再根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．

解答：解：（1）证明：∵DE∥AB，∠B=90°，
∴∠DEC=90°．
∴∠DCE=90°-∠CDE=60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ACB=30°，
∴∠CDE=∠DCF，
∴DF=CF，
∴△FCD是等腰三角形；

（2）在△ACB和△CDE中，

∠B=∠DEC=90° BC=DE ∠ACB=∠CDE

，
∴△ACB≌△CDE．
∴AC=CD．…（4分）
在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴AC=2AB=8．
∴CD=8．…（5分）

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质，综合性极强，难度不大．