Question

4．已知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{15}$，求$\frac{abc}{ab+ac+bc}$的值．

Answer 1

分析 先求出$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$的值，利用分式的性质，$\frac{abc}{ab+ac+bc}$的分子分母都处于abc，然后代入求值．

解答 解：因为$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{15}$，
∴a、b、c均不为0，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{9}$，
所以$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{31}{180}$，
所以分式$\frac{abc}{ab+ac+bc}$
=$\frac{abc÷abc}{（ab+ac+bc）÷abc}$
=$\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}$
=$\frac{1}{\frac{31}{180}}$
=$\frac{180}{31}$

点评 本题考查了分式的性质和分数的加减运算．利用分式的性质转化是解决本题的关键．