Question

已知：关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k-1=0；其中k为实数．
（1）求证：不论k取什么实数，方程都有两个不同的实根；
（2）设方程的两根为x₁，x₂，且满足2x₁+x₂=3，求实数k的值；

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程根的判别式就可以证明结论；
（2）利用根与系数的关系把所求代数式化成两根之和或两根之积的形式，然后得到关于k的方程，解方程即可求出k值．

解答：解：（1）关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k-1=0中，
△=（2k+1）²-4（k-1）=4k²+5＞0，
∴不论k取什么实数，方程都有两个不同的实根；

（2）因为x₁+x₂=-2k-1，
所以x₁=3-（x₁+x₂）=3-（-2k-1）=2k+4，
代入2x₁+x₂=3得，
x₂=3-2（2k+4）=-4k-5，
又因为x₁x₂=k-1，
所以（-4k-5）（4+2k）=k-1，
整理得8k²+27k+19=0，
解得k=-1，k=-

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．

点评：解答此题不仅要会解方程，还要根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系解答，方程有两个不相等的实数根即△＞0；另外（2）考查了一元二次方程的根与系数的关系，把求k的值的问题转化为解方程得问题．