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(2013•岳阳)某校有一露天舞台,纵断面如图所示,AC垂直于地面,AB表示楼梯,AE为舞台面,楼梯的坡角∠ABC=45°,坡长AB=2m,为保障安全,学校决定对该楼梯进行改造,降低坡度,拟修新楼梯AD,使∠ADC=30°.
(1)求舞台的高AC(结果保留根号);
(2)在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处有一株大树,修新楼梯AD时底端D是否会触到大树?并说明理由.
分析:(1)首先由已知AB=6m,∠ABC=45°求出AC和BC,再由∠ADC=30°求出AD=2AC;
(2)根据勾股定理求出CD后与3m比较后即可得到答案.
解答:解:(1)已知AB=2m,∠ABC=45°,
∴AC=BC=AB•sin45°=2×
2
2
=
2

答:舞台的高为
2
米;

(2)已知∠ADC=30°.
∴AD=2AC=2
2

CD=AD•cos30°=2
2
×
3
2
=
6
<3
答:修新楼梯AD时底端D不会触到大树.
点评:此题考查的是解直角三角形的应用,关键是运用锐角三角形函数求解.
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(1)求证:DP=DQ;
(2)如图2,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;
(3)如图3,固定三角板直角顶点在D点不动,转动三角板,使三角板的一边交AB的延长线于点P,另一边交BC的延长线于点Q,仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E,连接PE,若AB:AP=3:4,请帮小明算出△DEP的面积.

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