Question

【题目】如图，为的直径，为上不同于的两点，，连接.过点作，垂足为，直线与相交于点．

（1）求证：为的切线；

（2）当，时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）9.

【解析】

（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；

（2）连结AD．先解Rt△BEF，得出BE=BFsinF=3，由OC∥BE，得出△FBE∽△FOC，则，设⊙O的半径为r，由此列出方程，解方程求出r的值，由AB为⊙O直径，得出AB=15，∠ADB=90°，再根据三角形内角和定理证明∠F=∠BAD，则由sin∠BAD=，求出BD的长．

（1）证明：连接OC．

∵OA=OC，

∴∠1=∠2．

又∵∠3=∠1+∠2，

∴∠3=2∠1．

又∵∠4=2∠1，

∴∠4=∠3，

∴OC∥DB．

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CF．

又∵OC为⊙O的半径，

∴CF为⊙O的切线；

（2）解：连结AD．

在Rt△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，，

∴BE=BFsinF=3．

∵OC∥BE，

∴△FBE∽△FOC，

∴．

设⊙O的半径为r，

∴，

∴．

∵AB为⊙O直径，

∴AB=15，∠ADB=90°，

∵∠4=∠EBF，

∴∠F=∠BAD，

∴，

∴，

∴BD=9．