Question

【题目】在学习《2．1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图（1）、（2）所示，△ABC和△DBC中，∠A＝∠D＝90°．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．

小明想到了如下证法：在图（1）、（2）中取BC中点M，连结AM、DM．则有AM＝BM＝CM及DM＝BM＝CM，即AM＝BM＝CM＝DM，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，MB为半径的圆上．

根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：

（1）如图（3），在△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H，连结DE、DF，若∠BAC＝64°，则∠EDF＝__________°．

（2）如图（4），已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，G为CD的中点，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F（E、F不重合）．若∠EGF＝60°，求证：CD＝AB．

Answer 1

【答案】52°

【解析】试题分析： 由(2)易得，点在同一圆上，∴∠1=∠3.

由(2)同理可得，点在同一圆上，∴∠EDH=∠ECH. 可以证得∠2=∠3，

求得∠EDF的度数.

利用探究得出四点在同一圆上，且四点在同一圆上，

∠OGE＝∠OCE，∠OGF＝∠ODF． ∠OCE＋∠ODF＝∠OGE＋∠OGF＝∠EGF＝60°，

进一步证明△COD是等边三角形．从而得证.

试题解析： 如图，

在四边形FBDH中,

由(2)易得，点在同一圆上，

在四边形中,

由(2)同理可得，点在同一圆上，

且

∠EDF＝52°．

证明：连结OC，OD，OG．

<>

∵OC＝OD，G为CD的中点，∴OG⊥CD．

且

四点在同一圆上，且四点在同一圆上，

∴∠OGE＝∠OCE，∠OGF＝∠ODF．

∴∠OCE＋∠ODF＝∠OGE＋∠OGF＝∠EGF＝60°，

在Rt△CEO和在Rt△DFO中，

又

是等边三角形．

即