Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=2，且经过B（0，4），C（5，9），直线BC与x轴交于点A．
（1）求出直线BC及抛物线的解析式；
（2）D（1，y）在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M，N，且MN=2，点M在点N的上方，使得四边形BDNM的周长最小？若存在，求出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线BC距离为3的点P．

Answer 1

解：（1）设BC直线解析式：y=kx+b
根据题意得：
解得
直线BC的解析式为：y=x+4
∵抛物线的对称轴为x=2
设抛物线的解析式为y=（x-2）²+t，
根据题意得

解得：
抛物线的解析式为y=x²-4x+4

（2）∵若四边形BDNM的周长最短，求出BM+DN最短即可
∵点D抛物线上，
∴D（1，1）
∴D点关于直线x=2的对称点是D₁（3，1）
∵B（0，4）
∴将B点向下平移2个单位得到B₁（0，2）
∴直线B₁D₁交直线x=2于点N，
∵直线B₁D₁的解析式为：y=-x+2
∴N（2，）
∵MN=2∴M（2，）

（3）将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，设P到直线BC的距离为h，
故P点应在与直线BC平行，且相距3的上下两条平行直线l₁和l₂上．
由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为3．
如图，设l₁与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中，EF=h=3，∠EBF=∠ABO=45°，
∴BE=6．
∴可以求得直线l₁与y轴交点坐标为（0，10）
同理可求得直线l₂与y轴交点坐标为（0，-2）
∴两直线解析式l₁：y=x+10，l₂：y=x-2．
根据题意列出方程组：①；
②
∴解得：；；；
∴满足条件的点P有四个，它们分别是P₁（6，16），P₂（-1，9），P₃（2，0），P₄（3，1）．
分析：（1）利用待定系数法，根据题意列方程组求解即可；
（2）若四边形BDNM的周长最短，求出BM+DN最短即可，∵点D抛物线上，
∴D（1，1）∴D点关于直线x=2的对称点是D₁（3，1）∵B（0，4）
∴将B点向下平移2个单位得到B₁（0，2）∴直线B₁D₁交直线x=2于点N，求得直线B₁D₁的解析式即可得解；
（3）将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，设P到直线BC的距离为h，故P点应在与直线BC平行，且相距3的上下两条平行直线l₁和l₂上．由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为3．根据图形求解即可．
点评：此题考查了二次函数的综合应用，要注意待定系数法求函数解析式，还要注意数形结合思想的应用．