分析 (1)作EH⊥BC,垂足为点H,可得出∠CEH=45°,根据矩形的性质得出∠A=90°,则∠AEP=∠APE=45°,从而得出AP=AE=2,求得x的值即可;
(2)根据勾股定理得出EP,再证明△EHF∽△EAP,得出比例式$\frac{EF}{EP}=\frac{EH}{AE}$,代入数据即可得出y与x的解析式,写出定义域即可;
(3)作DG⊥BC,垂足为点G,根据三角函数的定义得出∠C=∠EPF,可证明△EFN∽△PEA,得出$\frac{EN}{AP}=\frac{NF}{AE}$,用含有x的式子表示出CF,设DN=m,那么MN=2m,EN=2-m,根据MN∥AP,得$\frac{MN}{AP}=\frac{EN}{AE}$,再利用含x的式子表示m,解关于x的方程求得x的值,即可求得△PEF的面积.
解答 解:(1)作EH⊥BC,垂足为点H,如图1,
由题意,可得BH=AE=2,CH=4,EH=AB=4,
∴CH=EH,
∴∠CEH=45°,
∵∠CEP=∠AEH=90°,∴∠AEP=∠CEH=45°,
∵∠A=90°,∴∠AEP=∠APE=45°,
∴AP=AE=2,即x=2;
(2)∵∠A=90°,AP=x,AE=2,
∴$EP=\sqrt{{x^2}+4}$,
∵∠FEH=∠AEP,∠EHF=∠A=90°,
∴△EHF∽△EAP,
∴$\frac{EF}{EP}=\frac{EH}{AE}$,即$\frac{EF}{{\sqrt{{x^2}+4}}}=\frac{4}{2}$,
∴$EF=2\sqrt{{x^2}+4}$,
∴$y=\frac{1}{2}EP•EF=\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+4}•2\sqrt{{x^2}+4}$,
即所求函数解析式为y=x2+4,定义域为0≤x≤2;
(3)作DG⊥BC,垂足为点G,如图2,
由题意,得DG=4,CG=2,
∴tanC=tan∠EPF=2,
∴∠C=∠EPF.
∵∠CMF=∠PFE,
∴∠MFC=∠PEF=90°,
∴∠ENF=90°.
∵∠NEF=∠APE,
∴△EFN∽△PEA,
∴$\frac{EN}{AP}=\frac{NF}{AE}$,即$\frac{EN}{x}=\frac{4}{2}$.
∴EN=2x,
∴CF=4-2x,
设DN=m,那么MN=2m,EN=2-m,
由MN∥AP,得$\frac{MN}{AP}=\frac{EN}{AE}$,
即$\frac{2m}{x}=\frac{2-m}{2}$,
解得$m=\frac{2x}{x+4}$.
∴$CF=m+2=\frac{2x}{x+4}+2$,
∴$\frac{2x}{x+4}+2=4-2x$,
整理,得x2+4x-4=0,
解得${x_1}=-2+2\sqrt{2}$,${x_2}=-2-2\sqrt{2}$(不符合题意,舍去),
∴△PEF的面积$y={(-2+2\sqrt{2})^2}+4=16-8\sqrt{2}$.
点评 本题考查了相似形综合题,本题涉及的知识点有等腰三角形的性质,平行线的性质,三角函数,相似三角形的性质和三角形的面积,综合性较强,有一定的难度.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{a}$(a≥0)是二次根式 | B. | 当a<0时,($\sqrt{a}$)2=-a | ||
C. | $\sqrt{{a}^{2}+b}$是最简二次根式 | D. | $\sqrt{(x+3)^{2}}$=x+3成立的条件是x>-3 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | △ABC三边垂直平分线的交点 | B. | △ABC三条角平分线的交点 | ||
C. | △ABC三条高所在直线的交点 | D. | △ABC三条中线的交点 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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