Question

3．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是上底AD的中点，P是腰AB上一动点，联结PE并延长，交射线CD于点M，作EF⊥PE，交下底BC于点F，联结MF交AD于点N，联结PF，AB=AD=4，BC=6，点A、P之间的距离为x，△PEF的面积为y．
（1）当点F与点C重合时，求x的值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠CMF=∠PFE时，求△PEF的面积．

Answer 1

分析 （1）作EH⊥BC，垂足为点H，可得出∠CEH=45°，根据矩形的性质得出∠A=90°，则∠AEP=∠APE=45°，从而得出AP=AE=2，求得x的值即可；
（2）根据勾股定理得出EP，再证明△EHF∽△EAP，得出比例式$\frac{EF}{EP}=\frac{EH}{AE}$，代入数据即可得出y与x的解析式，写出定义域即可；
（3）作DG⊥BC，垂足为点G，根据三角函数的定义得出∠C=∠EPF，可证明△EFN∽△PEA，得出$\frac{EN}{AP}=\frac{NF}{AE}$，用含有x的式子表示出CF，设DN=m，那么MN=2m，EN=2-m，根据MN∥AP，得$\frac{MN}{AP}=\frac{EN}{AE}$，再利用含x的式子表示m，解关于x的方程求得x的值，即可求得△PEF的面积．

解答 解：（1）作EH⊥BC，垂足为点H，如图1，
由题意，可得BH=AE=2，CH=4，EH=AB=4，
∴CH=EH，
∴∠CEH=45°，
∵∠CEP=∠AEH=90°，∴∠AEP=∠CEH=45°，
∵∠A=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，
∴AP=AE=2，即x=2；

（2）∵∠A=90°，AP=x，AE=2，
∴$EP=\sqrt{{x^2}+4}$，
∵∠FEH=∠AEP，∠EHF=∠A=90°，
∴△EHF∽△EAP，
∴$\frac{EF}{EP}=\frac{EH}{AE}$，即$\frac{EF}{{\sqrt{{x^2}+4}}}=\frac{4}{2}$，
∴$EF=2\sqrt{{x^2}+4}$，
∴$y=\frac{1}{2}EP•EF=\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+4}•2\sqrt{{x^2}+4}$，
即所求函数解析式为y=x²+4，定义域为0≤x≤2；

（3）作DG⊥BC，垂足为点G，如图2，
由题意，得DG=4，CG=2，
∴tanC=tan∠EPF=2，
∴∠C=∠EPF．
∵∠CMF=∠PFE，
∴∠MFC=∠PEF=90°，
∴∠ENF=90°．
∵∠NEF=∠APE，
∴△EFN∽△PEA，
∴$\frac{EN}{AP}=\frac{NF}{AE}$，即$\frac{EN}{x}=\frac{4}{2}$．
∴EN=2x，
∴CF=4-2x，
设DN=m，那么MN=2m，EN=2-m，
由MN∥AP，得$\frac{MN}{AP}=\frac{EN}{AE}$，
即$\frac{2m}{x}=\frac{2-m}{2}$，
解得$m=\frac{2x}{x+4}$．
∴$CF=m+2=\frac{2x}{x+4}+2$，
∴$\frac{2x}{x+4}+2=4-2x$，
整理，得x²+4x-4=0，
解得${x_1}=-2+2\sqrt{2}$，${x_2}=-2-2\sqrt{2}$（不符合题意，舍去），
∴△PEF的面积$y={（-2+2\sqrt{2}）^2}+4=16-8\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似形综合题，本题涉及的知识点有等腰三角形的性质，平行线的性质，三角函数，相似三角形的性质和三角形的面积，综合性较强，有一定的难度．