Question

1．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且 $\widehat{DA}$=$\widehat{DC}$，连结AC、AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若OE=2$\sqrt{7}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根据垂径定理得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，于是得到AD=AC，然后根据已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可证得；
（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=$\frac{1}{2}$AE，ON=$\frac{1}{2}$AO，设⊙O的半径为：r则ON=$\frac{1}{2}$r，AN=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，由于得到BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r，在Rt△DEF与Rt△BEO中，由勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵CD∥BE，
∴AB⊥CD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴AD=AC，
∵DA=DC，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD是等边三角形；

（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°
∵AD=AC，CD⊥AB，
∴∠DAB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AE，ON=$\frac{1}{2}$AO，
设⊙O的半径为：r，
则AB=2r，BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r，
ON=$\frac{1}{2}$r，AN=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
在Rt△NEO与Rt△BEO中，
OE²=OB²+BE²，
即r²+（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r）²=（2$\sqrt{7}$）²
解得：r=2$\sqrt{3}$，
∴NO=$\sqrt{3}$，AN=ND=3，
∴NE=$\sqrt{E{O}^{2}-N{O}^{2}}$=5，
∴DE=5-3=2．

点评 本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．