Question

已知一次函数y=-

1

2

x+m的图象经过点A（-2，3），并与x轴相交于点B，二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点A和点B．
（1）分别求这两个函数的解析式；
（2）如果将二次函数的图象沿y轴的正方向平移，平移后的图象与一次函数的图象相交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问二次函数的图象平移了几个单位．

Answer 1

分析：（1）先根据A点坐标求出直线AB的解析式，进而可求出B点坐标，已知抛物线过A、B两点，将两点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）设出平移后二次函数的解析式，可表示出Q点坐标，已知P、Q平行于x轴，那么根据抛物线的对称性可得出P点坐标，而P点正好在直线AB上，可将其代入直线的解析式中，即可求得P点坐标和平移的单位．

解答：解：（1）∵一次函数y=-

1

2

x+m的图象经过点A（-2，3），
∴3=-

1

2

×（-2）+m，得m=2．
∴所求一次函数的解析式y=-

1

2

x+2．
∴点B的坐标为（4，0）．
∵二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点A（-2，3）和点B（4，0），
∴

4a-2b-2=3 16a+4b-2=0

，
∴

a= 1 2 b=- 3 2

，
∴所求二次函数的解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）设平移后的二次函数解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2+n，
∴对称轴是直线x=

3

2

，
令x=0，则y=n-2，则Q的坐标是：（0，n-2），
∵当PQ∥x轴，
∴P，Q一定关于对称轴对称，则P的横坐标是3，P的坐标是（3，n-2），
∴P（3，n-2）在一次函数y=-

1

2

x+2的图象上，
∴n-2=-

1

2

×3+2，
∴n=

5

2

，
∴二次函数的图象向上平移了

5

2

个单位．

点评：本题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定、抛物线的对称性以及二次函数图象的平移等知识．