Question

20．已知△ABC中，D为AB边上任意一点，DF∥AC交BC于F，AE∥BC，∠CDE=∠ABC=∠ACB=α．
（1）如图1，当α=60°时，求证：△DCE是等边三角形；
（2）如图2，当α=45°时，求证：①$\frac{CD}{DE}$=$\sqrt{2}$；②CE⊥DE．
（3）如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE与DE的数量关系是：$\frac{CE}{DE}$=1．

Answer 1

分析 （1）想办法证明△CFD≌△DAE即可解决问题．
（2）①如图2中，作FG⊥AC于G．只要证明△CFD∽△DAE，推出$\frac{DC}{DE}$=$\frac{CF}{AD}$，再证明CF=$\sqrt{2}$AD即可．
②作CE′⊥DE于E′，只要证明点E与点E′重合，即可推出CE⊥DE．
（3）想办法证明EC=ED即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=BA，
∵DF∥AC，
∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BF=BD，
∴CF=AD，∠CFD=120°，
∵AE∥BC，
∴∠B+∠DAE=180°，
∴∠DAE=∠CFD=120°，
∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，
∵∠CDE=∠B=60°，
∴∠FCD=∠ADE，
∴△CFD≌△DAE，
∴DC=DE，∵∠CDE=60°，
∴△CDE是等边三角形．

（2）证明：①如图2中，作FG⊥AC于G．

∵∠B=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BAC=90°，
∴∠BFD=45°，∠DFC=135°，
∵AE∥BC，
∴∠BAE+∠B=180°，
∴∠DFC=∠DAE=135°，
∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，
∵∠CDE=∠B=45°，
∴∠FCD=∠ADE，
∴△CFD∽△DAE，
∴$\frac{DC}{DE}$=$\frac{CF}{AD}$，
∵四边形ADFG是矩形，FC=$\sqrt{2}$FG，
∴FG=AD，CF=$\sqrt{2}$AD，
∴$\frac{CD}{DE}$=$\sqrt{2}$，
②作CE′⊥DE于E′
∵∠CDE=45°，
∴DE′=CD•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
∵DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
∴点E与点E′重合，
∴CE⊥DE．

（3）解：如图3中，设AC与DE交于点O．

∵AE∥BC，
∴∠EAO=∠ACB，
∵∠CDE=∠ACB，
∴∠CDO=∠OAE，∵∠COD=∠EOA，
∴△COD∽△EOA，
∴$\frac{CO}{EO}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴$\frac{CO}{OD}$=$\frac{EO}{OA}$，∵∠COE=∠DOA，
∴△COE∽△DOA，
∴∠CEO=∠DAO．
∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∵∠CDE=∠B=∠ACB，
∴∠EDC=∠ECD，
∴EC=ED，
∴$\frac{CE}{DE}$=1．
故答案为1．

点评 本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．