Question

（2012•资阳）已知a、b是正实数，那么，

a+b

2

≥

ab

是恒成立的．
（1）由(

a

-

b

)2≥0恒成立，说明

a+b

2

≥

ab

恒成立；
（2）填空：已知a、b、c是正实数，由

a+b

2

≥

ab

恒成立，猜测：

a+b+c

3

≥

3	abc

也恒成立；
（3）如图，已知AB是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，PC⊥AB，垂足为C，AC=a，BC=b，由此图说明

a+b

2

≥

ab

恒成立．

Answer 1

分析：（1）由（

a

-

b

）²≥0，利用完全平方公式，即可证得

a+b

2

≥

ab

恒成立；
（2）由a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac）=

1

2

（a+b+c）[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，可证得a³+b³+c³≥3abc，即可得

a+b+c

3

≥

3	abc

也恒成立；
（3）首先证得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的对应边成比例，可求得PC的值，又由OP是半径，可求得OP=

a+b

2

，然后由点到线的距离垂线段最短，即可证得

a+b

2

≥

ab

恒成立．

解答：解：（1）∵（

a

-

b

）²≥0，
∴a-2

ab

+b≥0，…（1分）
∴a+b≥2

ab

，…（2分）
∴

a+b

2

≥

ab

；…（3分）

（2）

3	abc

…（6分）
理由：a³+b³+c³-3abc
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac）
=

1

2

（a+b+c）（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac）
=

1

2

（a+b+c）[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]
∵a、b、c是正实数，
∴a³+b³+c³-3abc≥0，
∴a³+b³+c³≥3abc，
同理：

a+b+c

3

≥

3	abc

也恒成立；
故答案为：

3	abc

；

（3）如图，连接OP，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
又∵PC⊥AB，
∴∠ACP=∠APB=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°，
∴∠APC=∠B，
∴Rt△APC∽Rt△PBC，
∴

PC

AC

=

CB

PC

，
∴PC²=AC•CB=ab，
∴PC=

ab

，…（7分）
又∵PO=

a+b

2

，
∵PO≥PC，
∴

a+b

2

≥

ab

．…（8分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、几何不等式的应用与证明以及完全平方公式等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意完全平方式的非负性的应用．