Question

3．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，2），直线l的解析式为y=kx+5-4k（k＞0）．
（1）当直线l经过点B时，求一次函数的解析式；
（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点D；
（3）直线l与y轴交于点M，点N是线段DM上的一点，且△NBD为等腰三角形，试探究：
①当函数y=kx+5-4k为正比例函数时，点N的个数有2个；
②点M在不同位置时，k的取值会相应变化，点N的个数情况可能会改变，请直接写出点N所有不同的个数情况以及相应的k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把B点坐标代入直线l的解析式可求得k，可求得一次函数的解析式；
（2）由矩形的性质可求得D点坐标，代入l的解析式，总成立，可得出结论；
（3）①由条件可求得函数解析式，求得BM=2，分别以D为圆心BD为半径画圆、作BD的垂直平分线，可得出与DM的交点个数，可得出答案；②按BM=5，BM＞5和0＜BM＜5三种情况，分别结合图形可得出答案．

解答 解：
（1）把B点坐标代入y=kx+5-4k可得，5-4k=2，解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直线l的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+2；
（2）由题意可知D点坐标为（4，5），
把x=4代入y=kx+5-4k可得y=5，
∴不论k为何值，直线l总经过点D；
（3）①当函数y=kx+5-4k为正比例函数时可得5-4k=0，解得k=$\frac{5}{4}$，
∴直线解析式为y=$\frac{5}{4}$x，则BM=2，如图1所示，

以D为圆心BD为半径画圆，与DM有一交点，BD的垂直平分线与DM有一交点，
故满足条件的点有两个．
故答案为：2；
②∵k＞0，
∴5-4k＜5，
当5-4k=-3时，k=2，此时OM=3，则MB=5，如图2所示，

分别以B、D为圆心BD为半径画圆，与DM交于点M和N₁，和BD的垂直平分线交DM于点N₂，故此时满足条件的N点有3个，
当k＞2时，此时MB＞5，如图3所示，

分别以B、D为圆心BD为半径画圆，与DM交于N₁、N₂两点，BD的垂直平分线交DM于N₃，
故满足条件的点有3个，
∴当k≥2时，满足条件的点有3个，
当$\frac{3}{4}$＜k＜2时，此时0＜OB＜5，同理可得出满足条件点有两个，
当k=$\frac{3}{4}$时，此时B、M重合，则满足条件的N点有0个，
当0＜k＜$\frac{3}{4}$时，即M在线段AB上时，同理可知满足条件的点只有一个，
综上可知当k≥2时，有3个；当$\frac{3}{4}$＜k＜2时，有两个；当k=$\frac{3}{4}$时，有0个；当0＜k＜$\frac{3}{4}$时，有1个．

点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、正比例函数的定义等．在（1）中把B点坐标代入求得k即可，在（2）中求得D点坐标代入解析即可得证，在（3）中注意利用圆的特征来确定N点的个数，注意数形结合思想的应用．本题知识点较多，但难度适中．