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    21、我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题．
    譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题．
    问题提出：如何把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形？
    为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”．
    基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形．
    基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形．

    问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
    （1）把一个正方形分割成9个小正方形．
    一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成4+5=9（个）小正方形．
    另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成6+3=9（个）小正方形．
    （2）把一个正方形分割成10个小正方形．
    方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3×2个小正方形，从而分割成4+3×2=10（个）小正方形．
    （3）请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）
    （4）把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
    方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依次类推，即可把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
    从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
    类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形．
    （1）基本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形（请你在图a中画出草图）；
    （2）基本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形（请你在图b中画出草图）；
    （3）分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）；

    （4）请你写出把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）．
    分析：（3）按“基本分割2”进行两次即可；
    （4）类比应用：
    ①基本分割法1即利用正三角形的3条中位线把一个正三角形分割成4个小正三角形；
    ②基本分割法2即作正三角形的一条中位线，将其分割成一个小正三角形和梯形，再利用梯形上底的中点和下底的三等分点，将梯形分割成5个正三角形，从而把一个正三角形分割成6个小正三角形；
    ③图c分别按基本分割1和基本分割2各进行一次即可；
    图d分别按基本分割1进行3次即可；
    图e分别按基本分割2进行2次即可；
    ④类比正方形的分割中的第（4）小题，即可作出答案：
    通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正三角形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正三角形，从而把一个正三角形分割成12个、13个、14个小正方形，依次类推，即可把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形．
    解答：解：（1）把一个正方形分割成11个小正方形：
    （2分）
    （2）把一个正三角形分割成4个小正三角形：
    （3分）
    （3）一个正三角形分割成6个小正三角形：
    （5分）
    （4）把一个正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形：
    （8分）
    把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形的分割方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合，把一个正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正三角形，从而把一个正三角形分割成12个、13个、14个小正三角形，依次类推，即可把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形．（10分）
    点评：本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想像能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题．
    譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题．
    问题提出：如何把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形？
    为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”．
    基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形．
    基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形．

    问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
    （1）把一个正方形分割成9个小正方形．
    一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成4+5=9（个）小正方形．
    另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成6+3=9（个）小正方形．
    （2）把一个正方形分割成10个小正方形．
    方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3×2个小正方形，从而分割成4+3×2=10（个）小正方形．
    （3）请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）
    （4）把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
    方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依此类推，即可把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
    从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
    类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形．
    （1）基本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形（请你在图a中画出草图）；
    （2）基本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形（请你在图b中画出草图）；
    （3）分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）；

    （4）请你写出把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题．

    譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题．

    问题提出：如何把一个正方形分割成（）个小正方形？

    为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”．

    基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形．

    基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形．

     


    问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成（）个小正方形．

    （1）把一个正方形分割成9个小正方形．

    一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成（个）小正方形．

    另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成（个）小正方形．

    （2）把一个正方形分割成10个小正方形．

    方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加个小正方形，从而分割成（个）小正方形．

    （3）请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）

    （4）把一个正方形分割成（）个小正方形．

    方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依次类推，即可把一个正方形分割成（）个小正方形．

    从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成（）个小正方形．

    类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成（）个小正三角形．

    （1）基本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形（请你在图a 中画出草图）．

    （2）基本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形（请你在图b 中画出草图）．

    （3）分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）

     


    （4）请你写出把一个正三角形分割成（）个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）．

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    科目：初中数学 来源：山东省中考真题 题型：解答题

    我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题。
    譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题。
    问题提出：如何把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形？
    为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”，
    基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形。
    基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形。

    问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形。
    （1）把一个正方形分割成9个小正方形，
    一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成4+5=9（个）小正方形。
    另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成6+3=9（个）小正方形。
    （2）把一个正方形分割成10个小正方形，
    方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3×2个小正方形，从而分割成4+3×2=10（个）小正方形。
    （3）请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）.
    （4）把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形，
    方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依次类推，即可把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n（n≥9）个小正方形。
    类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形。
    （1）基本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形（请你在图a中画出草图）；
    （2）基本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形（请你在图b中画出草图）；
    （3）分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）；
    （4）请你写出把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）。

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    科目：初中数学 来源：2009年全国中考数学试题汇编《尺规作图》（01）（解析版） 题型：解答题

    （2009•青岛）我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题．
    譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题．
    问题提出：如何把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形？
    为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”．
    基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形．
    基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形．

    问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
    （1）把一个正方形分割成9个小正方形．
    一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成4+5=9（个）小正方形．
    另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成6+3=9（个）小正方形．
    （2）把一个正方形分割成10个小正方形．
    方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3×2个小正方形，从而分割成4+3×2=10（个）小正方形．
    （3）请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）
    （4）把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
    方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依此类推，即可把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
    从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
    类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形．
    （1）基本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形（请你在图a中画出草图）；
    （2）基本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形（请你在图b中画出草图）；
    （3）分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）；

    （4）请你写出把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）．

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