Question

3．在平面直角坐标系中，已知点P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）当⊙P运动到与x轴也相切于K点时，如图1，判断四边形OAPK的形状，并说明理由．
（2）当⊙P运动到与x轴相交于B、C两点时，已知B、C两点的坐标分别为B（1，0）、C（3，0），且四边形ABCP为菱形，如图2，求反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）先利用切线的性质得出四边形OAPK是矩形，再判断出PA=PK即可得出结论；
（2）先求出BC=2，再用菱形的性质得出AP=PC=BC=2，另为用圆的性质得出PB=PC，用勾股定理求出PD即可得出点P坐标，最后代入即可．

解答 解：（1）四边形OAPK是正方形，
理由：∵P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
∴∠OAP=90°，
∵⊙P运动到与x轴也相切于K点，
∴∠OKP=90°，
∵∠AOK=90°，
∴∠OAP=∠AOK=∠OKP=90°，
∴四边形OAPK是矩形，
∵⊙P和x，y轴都相切，
∴AP=KP，
∴矩形OAPK是正方形．
（2）如图，

∵B（1，0）、C（3，0），
∴BC=2，
∵四边形ABCP为菱形，
∴AP=PC=BC=2，
连接BP，
∴BP=PC=BC=2，
∴△PBC是等边三角形，
过点P作PD⊥BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=1，
在Rt△BPD中，BP=2，PD=$\sqrt{3}$，
∴P（2，$\sqrt{3}$），
∵点P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上，
∴k=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了切线的性质，菱形，矩形，正方形的判定，勾股定理，等边三角形的性质．待定系数法，掌握特殊四边形的性质和判定以及等边三角形的性质是解本题的关键．