Question

如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，动点E从点A开始沿边AB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，动点F从点B开始沿边BC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点G从点C开始沿边CD向点D以每秒2个单位长度的速度运动，动点H从点D开始沿边DA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一点到达终点时，其余点也随之停止运动，设运动时间t．
（1）证明：四边形EFGH始终是平行四边形；
（2）是否存在某一时刻使得四边形EFGH是矩形？若存在，求t的值；
（3）证明：三条直线AC，EG，FH经过同一点．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据条件可以表示出AE=2t，BE=8-2t，BF=t，CF=6-t，CG=2t，GD=8-2t，HD=t，AH=6-t，就可以得出AE=CG，BE=GD，BF=DH，CF=AH，由矩形的性质就可以得出△HAE≌△FCG，△EBF≌△GDH，就可以得出HE=FG，EF=HG，就可以得出结论；
（2）连接EG，FH，作FM⊥AD于M，根据矩形的性质及勾股定理就可以得出EF²=t²+64-32t+4t²，FG²=36-12t+t²+4t²，进而得出EG²=100+10t²-44t，FH²=100-24t+4t²，由矩形的性质建立方程就可以求出t的值；
（3）连接EG，FH，使EG与AC相交于点O，EG与FH相交于点P．由平行四边形的性质就可以得出EP=GP，AP=CP，就有P是EG的中点，由矩形的性质可以得出△AOE≌△COG，就可以得出AO=CO，EO=GO，就有O是EG的中点，得出P、O重合，进而得出三条直线AC，EG，FH经过同一点．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCD=∠D=∠DAB=90°，AB=CD，BC=AD．
∵AE=CG=2t，BF=DH=t，
∴BE=GD=8-2t，CF=AH=6-t．
在△EBF和△GDH中，

BE=GD ∠B=∠D BF=DH

，
∴△EBF≌△GDH（SAS），
∴EF=GH．
在△HAE和△FCG中，

AH=CF ∠DAB=∠BCD AE=CG

，
∴△HAE≌△FCG（SAS），
∴HE=FG．
∵

EF=GH HE=FG

，
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）解：在某一时刻四边形EFGH是矩形．理由如下：
连接EG，FH，作FM⊥AD于M，
∴∠FMH=90°．
∵四边形EFGH是矩形，
∴EG=FH，∠EFG=90°．
∴EG²=EF²+FG²．FH²=MF²+MH²．
∴FH²=100-24t+4t²．
在Rt△BEF，Rt△FCG中，由勾股定理，得，
EF²=t²+64-32t+4t²，FG²=36-12t+t²+4t²，
∴EF²+FG²=100+10t²-44t，
∴100+10t²-44t=100-24t+4t²．
∴t₁=0（舍去），t₂=

10

3

∴t=

10

3

时，四边形EFGH是矩形；

（3）证明：连接EG，FH，使EG与AC相交于点O，EG与FH相交于点P．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠EAC=∠DCA，∠AEO=∠CGO．
在△AOE和△COG中

∠EAC=∠DCA AE=CG ∠AEO=∠CGO

，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴EO=GO，AO=CO，
∴O是EG、AC的中点．
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴EP=GP，FP=HP，
∴P是EG、FH的中点，
∴O、P重合，
∴三条直线AC，EG，FH经过同一点．

点评：本题考查了平行四边形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．