Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为△ABC形外一点，且点D在AC的垂直平分线上，若∠BCD=30°，求∠ABD的值．

Answer 1

分析：由题意得到三角形ACB为等腰直角三角形，得到∠ABC=∠CAB=45°，根据∠BCD=30°得到∠ACD=60°，可得出三角形ACD为等边三角形，确定出DC=AC=BC，即三角形BCD为等腰三角形，求出∠CBD的度数，由∠CBD-∠ABC即可求出∠ABD的度数．

解答：解：∵△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠BCD=30°，
∴∠ACD=60°，
∵D在AC的垂直平分线上，
∴CD=AD，
∴△ACD为等边三角形，
∴AC=CD=AD，
∴DC=AC=BC，
∴∠CBD=∠CDB=75°，
∴∠ABD=∠CBD-∠CBA=75°-45°=30°．

点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．