Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AC=6，以BC为斜边向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．

（1）求证：PC：CD=CE：BC；

（2）若PE=n（0＜n≤4），求△BDP的面积；（用含n的代数式表示）

（3）当△BDF为等腰三角形时，请直接写出线段PE的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）S=2n2+n（0＜n≤4）；（3）4-4或4．

【解析】

(1)由△PCD，△EBC都是等腰直角三角形，得出CD=PC，BC=CE，即可得出结论；

(2)作PH⊥BD于H，首先利用四点共圆证明∠CBD=90°，再证明△CBD∽△CEP，求出BD、PH即可得出结果；

(3)分两种情形：①当BF=BD时，∠BDF=67.5°，在BC上取一点G，使得BG=BD，由BG+CG=BC构建方程即可得出结果；②当FB=FD时，∠FBD=∠FDB=45°，此时BD=BC=4，点E与点F重合，即可得出结果．

(1)∵△PCD，△EBC都是等腰直角三角形，

∴CD=PC，BC=CE，

∴==，==，

∴=；

(2)如图1中，作PH⊥BD于H，

∵△PCD，△EBC都是等腰直角三角形，

∴∠PCD=∠BCE=45°，∠PBC=∠PDC=45°，

∴B、C、P、D四点共圆，

∴∠DBP=∠PCD=45°，

∴∠CBD=∠DBP+∠PBC=45°+45°=90°，△PBH是等腰直角三角形，

∵∠BCE=∠DCP=45°，

∴∠BCD=∠ECP，

∵∠CEP=∠CBD=90°，

∴△CBD∽△CEP，

∴==，

∵PE=n，

∴BD=n，

∵tanA==，AC=6，

∴BC=4，

∴EC=BE=4，

∴PB=4+n，PH=BH=(4+n)，

∴S△BDP=BDPH=×n×(4+n)=2n2+n(0＜n≤4)；

(3)①如图2中，当BF=BD时，在BC上取一点G，使得BG=BD，

∵∠PBD=45°，

∴∠BDF=67.5°，

∵∠CBD=90°，

∴∠BDG=∠BGD=45°，

∴∠BCD=∠GDC=22.5°，

∴GC=GD，

∵PE=n，BD=n，

∴BG=n，CG=DG=BG=2n，

∴BG+CG=BC=4，

∴n+2n=4，

∴n=4-4，

∴PE=4-4；

②如图3中，当FB=FD时，则∠FBD=∠FDB=45°，

此时BD=BC=4，

∵∠CDP=45°，

∴∠BDP=90°，

∵∠CPD=90°，∠CBD=90°，

∴四边形CBDP为正方形，E、F点重合，

∴PE=BE=4，

综上所述，线段PE的长度为：4-4或4．