Question

3．若非零整数a、b、c使得方程ax²+bx+c=0的两个相异实根也是方程x³+bx²+ax+c=0的根，则a=2．

Answer 1

分析 设方程x³+bx²+ax+c=0分解后为（mx+n）（ax²+bx+c）=0，整理得出对应的系数相等，进一步探讨得出答案即可．

解答 解：∵若非零整数a、b、c使得方程ax²+bx+c=0的两个相异实根也是方程x³+bx²+ax+c=0的根，
∴设方程x³+bx²+ax+c=0分解后为（mx+n）（ax²+bx+c）=0，
则（mx+n）（ax²+bx+c）=x³+bx²+ax+c，
即max³+（na+mb）x²+（mc+nb）x+nc=0，
∴ma=1，na+mb=b，nb+mc=a，nc=c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}+a=b}\\{\frac{c}{a}+b=a}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{b+{a}^{2}=ab}\\{c+ab={a}^{2}}\end{array}\right.$
∴b=$\frac{{a}^{2}}{a-1}$，c=-b，
∵a≠0且abc都为整数，即$\frac{{a}^{2}}{a-1}$为整数，
∴a=2是唯一解．
故答案为：2．

点评 此题考查一元二次方程的解，整式的混合运算，利用相等的多项式对应的系数相等找出等量关系，联立方程组解决问题．