Question

已知关于x的一元二次方程x²-mx-2=0．
（1）若-1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）证明：对于任意实数m，函数y=x²-mx-2的图象与x轴总有两个交点．

Answer 1

解：（1）∵-1是方程的一个根，
∴m=1，
将m=1代入方程得x²-x-2=0，
解之得x₁=-1，x₂=2．
∴方程的另一个根是2；

（2）∵△=m²-4×1×（-2）=m²+8，
∵无论m取任意实数，都有m²≥0，
∴m²+8＞0，
∴函数y=x²-mx-2的图象与x轴总有两个交点．
分析：（1）由于-1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后解方程可以求出方程的另一根；
（2）证明对于任意实数m，函数y=x²-mx-2的图象与x轴总有两个交点，就是证明函数的判别式是一个正数即可．
点评：此题的第一小题考查了方程的根的定义，把方程的根代入原方程就可以确定待定系数m的值，然后解方程就可以求出方程的另一个根；第二小题考查的是二次函数与x轴交点情况与判别式的关系，证明判别式是正数即可解决问题．