Question

如图，在直角坐标系中，射线OA与x轴正半轴重合，以O为旋转中心，将OA逆时针旋转：OA?OA₁?OA₂?…?OA_n…，旋转角∠AOA₁=2°，∠A₁OA₂=4°，∠A₂OA₃=8°，…要求下一个旋转角（不超过360°）是前一个旋转角的2倍．当旋转角大于360°时，又从2°开始旋转，即∠A₈OA₉=2°，∠A₉OA₁₀=4°，…周而复始．则当OA_n与y 轴正半轴第一次重合时，n的值为________．（提示：2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸=510）

Answer 1

24
分析：由题意知：每8组角为一个循环；若OA与y轴正半轴重合，那么射线OA旋转的度数为：360°•k+90°，即旋转的角度为整数，且是10的倍数；在每组的循环中，前4组或后4组角的度数和正好是10°的倍数，因此所求的n值必为4的倍数，能求出k是正整数的就是符合题意的n值．
解答：若经过旋转OA_n与y轴正半轴重合，那么射线OA旋转的角度为：360°•k+90°，（k为正整数）
因此旋转的角度必为10°的倍数；
由题意知：2+2²+2³+2⁴=30，2⁵+2⁶+2⁷+2⁸=480；
即n的值必为4的倍数，所以360°•k+90°能被4整除，
∴360°•k+90°时能被4整除，
∴k是正整数的值时，就是符合题意的n值；
∴当k=4时，n取最小值．即360°•k+90°=1530°，
∴510°×（n÷8）=1530°，
∴n=24．
故答案是：24．
点评：此题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质．解题时，正确的表示出射线OA旋转的角度，并正确的判断出n是4的倍数，是解决此题的关键，难度较大．