Question

如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依次操作下去…
（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为　 　，求此时线段EF的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为　 　，此时AE与BF的数量关系是　 　；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围；
（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．

Answer 1

（1）△DEF为等边三角形，EF的长为4﹣4．
（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．
②y=2x²﹣8x+16（0＜x＜4），y的取值范围为：8≤y＜16．
（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为4﹣4．

试题分析：（1）根据旋转的性质，易知△EFD是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理即求出EF的长；
（2）①四边形EFGH的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证明AE=BF；
②求出面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范围．
（3）如答图2所示，经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，可能是正多边形，最大边数为8，边长为4﹣4
试题解析：（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则△DEF为等边三角形．
在Rt△ADE与Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）
∴AE=CF．
设AE=CF=x，则BE=BF=4﹣x
∴△BEF为等腰直角三角形．
∴EF=BF=（4﹣x）．
∴DE=DF=EF=（4﹣x）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE²+AD²=DE²，即：x+4²=[（4﹣x]²，
解得：x₁=8﹣4，x₂=8+4（舍去）
∴EF=（4﹣x）=4﹣4．
DEF的形状为等边三角形，EF的长为4﹣4．
（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．理由如下：
依题意画出图形，如答图1所示：

由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH的形状为正方形．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4．
∵EF=EH
∴△AEH≌△BFE（ASA）
∴AE=BF．
②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，
∴BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4﹣x．
∴y=S_{正方形ABCD}﹣4S_△AEH=4×4﹣4×x（4﹣x）=2x²﹣8x+16．
∴y=2x²﹣8x+16（0＜x＜4）
∵y=2x²﹣8x+16=2（x﹣2）²+8，
∴当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16，
∴y的取值范围为：8≤y＜16．
（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为4﹣4．
如答图2所示，粗线部分是由线段EF经过7次操作所形成的正八边形．

设边长EF=FG=x，则BF=CG=x，
BC=BF+FG+CG=x+x+x=4，解得：x=4﹣4．