Question

如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于点P，连接OP，OQ；
求证：
（1）△BCQ≌△CDP；
（2）OP=OQ．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质和DP⊥CQ于点E可以得到证明△BCQ≌△CDP的全等条件；
（2）根据（1）得到BQ=PC，然后连接OB，根据正方形的性质可以得到证明△BOQ≌△COP的全等条件，然后利用全等三角形的性质就可以解决题目的问题．

解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，（2分）
∴∠2+∠3=90°，
又∵DP⊥CQ，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，（4分）
在△BCQ和△CDP中，

∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3

．
∴△BCQ≌△CDP．（5分）

（2）连接OB．
（6分）
由（1）：△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，（7分）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
而点O是AC中点，
∴BO=

1

2

AC=CO，∠4=

1

2

∠ABC=45°=∠PCO，（9分）
在△BOQ和△CDP中，

BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO

．
∴△BOQ≌△COP，
∴OQ=OP．（10分）

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用它们构造证明全等三角形的条件，然后通过全等三角形的性质解决问题．