Question

19．如图，已知矩形ABCD中，FA、HB、FD、HC分别平分∠BAD、∠ABC、∠ADC、∠BCD．求证：四边形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 直接利用矩形的性质结合角平分线的性质得出∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=45°，进而得出四边形EFGH是矩形，再利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案．

解答 证明：∵矩形ABCD中，FA、HB、FD、HC分别平分∠BAD、∠ABC、∠ADC、∠BCD，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=45°，
∴∠F=∠FEH=∠FGH=90°，AF=FD，
∴四边形EFGH是矩形，
∵在△ABE和△CDG中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠4}\\{AB=DC}\\{∠3=∠5}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDG（ASA），
∴AE=BE=DG=GC，
∴AF-AE=DF-DG，即EF=FG，
∴矩形EFGH是正方形．

点评 此题主要考查了矩形的性质以及正方形的判定和全等三角形的判定与性质等知识，得出EF=FG是解题关键．