Question

13．如图，图①是一块边长为1，面积记为S₁的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为$\frac{1}{2}$的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的$\frac{1}{2}$）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的面积为S_n，则S_n-1-S_n=$\frac{3\sqrt{3}}{{4}^{n}}$．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得出，三角形的边长分别为：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$…，即相邻三角形相似比为1：2，进而求出相邻三角形面积比，从而得出规律．

解答 解：∵依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的$\frac{1}{2}$，
∴三角形的边长分别为：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$…
即相邻三角形相似比为：1：2，
∴相邻三角形面积比为：1：4，
∴剪去一块的正三角形纸板面积分别为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{16}$，$\frac{\sqrt{3}}{64}$，$\frac{\sqrt{3}}{256}$…
第n个纸板的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{n}}$，
第n-1个纸板的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{n-1}}$，
∴S_n-1-S_n=$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{n-1}}$$-\frac{\sqrt{3}}{{4}^{n}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{{4}^{n}}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{{4}^{n}}$．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识，此题得出相邻三角形面积比，从而表示出各三角形面积是解决问题的关键．