Question

3．在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=9，BC=12．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为21-$\sqrt{63}$ （计算结果不取近似值）

Answer 1

分析 找到两个极端，即AT取最大或最小值时，点M或N的位置，分别求出点M与A重合时，AT取最大值，当点N与C重合时，AT有最小值．

解答 解：如图所示：当点M与点A重合时，AT取得最大值，
由轴对称可知，AT=AB=9；
当点N与点C重合时，AT取得最小值，
过点C作CD⊥l于点D，连结CT，则四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=9，
由轴对称可知，CT=BC=12，
在Rt△CDT中，CD=9，CT=12，
则DT=$\sqrt{1{2}^{2}-{9}^{2}}$=$\sqrt{63}$，
∴AT=AD-DT=12-$\sqrt{63}$，
所以线段AT长度的最大值与最小值之和为：9+12-$\sqrt{63}$=21-$\sqrt{63}$，
故答案为：21-$\sqrt{63}$．

点评 本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，解答本题的关键是找到AT取得最大值、最小值的两个极值点，注意翻折前后对应边相等．