分析 （1）如图1，过B作BH∥AD，根据平行线的性质得到∠DAB+∠1=180°，由已知条件得到∠+∠BCE=180°，根据平行线的判定得到BH∥CE，由平行公理的推论即可得到结论；
（2）首先设∠BAF=x°，∠BCF=y°，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，根据平行线的性质，可得∠AFC=（x+2y）°，∠ABC=（2x+y）°，又由2∠B-∠F=90°，可得方程：90-（x+2y）=180-2（2x+y），继而求得答案．
（3）根据两直线平行，内错角相等可得∠MPQ=∠PQR=$\frac{1}{2}$∠PQG，然后根据∠APQ=∠PAH+∠PQG，列式表示出∠NPM=$\frac{1}{2}$∠APQ-$\frac{1}{2}$∠PQG=$\frac{1}{2}$（∠APQ-∠PQG）=$\frac{1}{2}$∠PAH=30°，从而判定②正确．
解答 （1）证明：如图1，过B作BM∥AD，
∴∠DAB+∠1=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴∠2+∠BCE=180°，
∴BM∥CE，
∴AD∥CE；
（2）解：设∠BAF=x°，∠BCF=y°，
∵∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，
∴∠HAF=∠BAF=x°，∠BCG=∠BCF=y°，∠BAH=2x°，∠GCF=2y°，
如图2，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥FN∥BM∥CE，
∴∠AFN=∠HAF=x°，∠CFN=∠GCF=2y°，∠ABM=∠BAH=2x°，∠CBM=∠GCB=y°，
∴∠AFC=（x+2y）°，∠ABC=（2x+y）°，
∵2∠B-∠F=90°，
∴90-（x+2y）=180-2（2x+y），
解得：x=30，
∴∠BAH=60°．
（3）如图3，
由（1）可知∠APQ=∠PAH+∠PQG，
∴∠PAH=∠APQ-∠PQG，
∵QR平分∠PQR，PM∥QR，
∴∠MPQ=∠PQR=$\frac{1}{2}$∠PQG，
∵PN平分∠APQ，
∴∠NPM=$\frac{1}{2}$∠APQ-$\frac{1}{2}$∠PQG=$\frac{1}{2}$（∠APQ-∠PQG）=$\frac{1}{2}$∠PAH，
∵点P是AB上一点，
∴∠PAH=60°，
∴∠NPM=30°；
∴①∠APQ+∠NPM的值随∠DGP的变化而变化；②∠NPM的度数为30°不变．
点评 本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．
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| A． | 0 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | 2 | D． | 不能确定 |
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在一次数学实验活动中，老师带领学生去测一条南北流向的河的宽度．如图，某同学在河东岸点A处观测河对岸水边有点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，则这条河的宽度30米．（参考数据：$tan31°=\frac{3}{5}，sin31°≈\frac{1}{2}$）查看答案和解析>>
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