Question

8．如图，已知C点的坐标为（1，0），直线y=-x+3交于x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过A，B，C三点．
（1）求抛物线解析式．
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）△ABO为等腰直角三角形，若△ADP与之相似，则有两种情形，如答图1所示．利用相似三角形的性质分别求解，避免遗漏；
（3）如答图2所示，分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的表达式．利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E是否存在的问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中P点的不同位置分别进行计算，在这两种情况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E点均不存在．

解答 解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）．
∵抛物线经过A、B、C三点，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax²+bx+c，
得方程组$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；            

（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1
所示，
若△ABO∽△AP₁D，则$\frac{AO}{AD}$=$\frac{OB}{D{P}_{1}}$，
∴DP₁=AD=4，
∴P₁（-1，4）．
若△ABO∽△ADP₂ ，过点P₂作P₂ M⊥x轴于M，AD=4，
∵△ABO为等腰三角形，
∴△ADP₂是等腰三角形，
由三线合一可得：DM=AM=2=P₂M，即点M与点C重合，
∴P₂（1，2），
综上所述，点P的坐标为P₁（-1，4），P₂（1，2）；
（3）不存在．
理由：如答图2，
设点E（x，y），则 S_△ADE=$\frac{1}{2}$•AD•|y|=2|y|．
①当P₁（-1，4）时，S_{四边形AP1CE}=S_△ACP1+S_△ACE=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×2|y|=4+|y|，
∵△ADE的面积等于四边形APCE的面积，
∴2|y|=4+|y|，
∴|y|=4
∵点E在x轴下方，
∴y=-4，代入得：x²-4x+3=-4，即x²-4x+7=0，
∵△=（-4）²-4×7=-12＜0
∴此方程无解
②当P₂（1，2）时，S_{四边形AP2CE}=S_△ACP2+S_△ACE=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2•|y|=2+|y|，
∵△ADE的面积等于四边形APCE的面积，
∴2|y|=2+|y|，
∴|y|=2．
∵点E在x轴下方，
∴y=-2，代入得：x²-4x+3=-2，即x²-4x+5=0，
∵△=（-4）²-4×5=-4＜0，
∴此方程无解．
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．

点评 本题重点考查了抛物线的相关性质、相似三角形的性质、图形面积的计算以及一元二次方程根的判别式，涉及的知识点较多．注意在（2）（3）问中，均有两种情形，需要分类讨论计算，避免漏解；（3）问中是否存在点E的问题，转化为一元二次方程实数根个数的问题，需要注意这种解题方法．作为中考压轴题，本题综合性强，难度较大，有利于提高学生的综合解题能力，是一道不错的题目．