分析 (1)利用AAS即可证得;
(2)证明△ABF是等腰直角三角形,四边形AFGK是平行四边形即可证得;
(3)过点G作GI⊥KD于点I,首先求得△DGK的面积,然后根据△DKG∽△PKM∽△DPN,利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方,用x表示出△PKM和△DPN的面积,则函数解析式即可求得.
解答 解:(1)∵在矩形ABCD中,AD∥BC
∴∠KDO=∠GBO,∠DKO=∠BGO
∵点O是BD的中点
∴DO=BO
∴在△DCK和△BOG中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠KDO=∠GBO}\\{∠DKO=∠BGO}\\{DO=BO}\end{array}\right.$,
∴△DOK≌△BOG(AAS),
(2)∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°,AD∥BC
又∵AF平分∠BAD
∴∠BAF=∠BFA=45°
∴AB=BF
∵OK∥AF,AK∥FG
∴四边形AFGK是平行四边形
∴AK=FG
∵BG=BF+FG
∴BG=AB+AK;
(3)如图,过点G作GI⊥KD于点I,
由(2)知,四边形AFGK是平行四边形,△ABF为等腰直角三角形.
∴AF=KG=2,AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF=$\sqrt{2}$,
∵四边形ABCD是矩形,
∴GI=AB=$\sqrt{2}$,S△DNG=$\frac{1}{2}$KD•GI=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$.
∵PD=x
∴PK=2-x
∵PM∥DG,PN∥KG
∴四边形PMGN是平行四边形,△DKG∽△PKM∽△DPN,
∴$\frac{{S}_{△DPN}}{{S}_{△DGK}}$=($\frac{x}{2}$)2=$\frac{{x}^{2}}{4}$,即S△DPN=$\frac{{x}^{2}}{4}$S△DKG=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x2.
同理,S△KPM=$\frac{\sqrt{2}(2-x)^{2}}{4}$,S平行四边形PMGN=S△DKG-S△DPN-S△KPM=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x2-$\frac{\sqrt{2}(2-x)2}{4}$,
则S△PMN=$\frac{1}{2}$S平行四边形PMGN=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x.(0<x<2).
点评 本题考查了平行四边形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质,正确表示出△DNP和△PMK的面积是关键.
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