Question

【题目】如图，，，，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边与、交于点、，与、的延长线交于点、，连接.

（1）在旋转的过程中，当时，如图1.求证：；

（2）在旋转的过程中，当时，如图2，如果，，用等式表示线段、之间的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AE·AF=2，证明见解析.

【解析】

（1）先证明△ABC≌△ADC，然后再证明△ACF≌△ACE即可得；

（2）过点C作CG⊥AB于点G，先求出AC的长，再证明△ACF∽△AEC，根据相似三角形的性质即可得.

（1）∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，

∴∠BAC=∠DAC=45°，∴180°-∠BAC=180°-∠DAC，∴∠FAC=∠EAC=135°，

又∵∠FCA=∠ECA，AC=AC

∴△ACF≌△ACE，

∴AE=AF；

（2）AE·AF=2，证明如下：

过点C作CG⊥AB于点G，则∠BGC=∠AGC=90°，

∵∠B=30°，∴CG=BC=1，

∵∠BAC=45°，∴AC==

∵∠FAC=∠EAC=135°，∴∠ACF+∠F=45°，

又∵∠ACF+∠ACE=45°，∴∠F=∠ACE，

∴△ACF∽△AEC，

∴，

故AC= AE·AF

∴AE·AF=2