Question

17．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n与直线y=-$\frac{1}{2}$x+3交于A、B两点，交x输的右交点为C，己知A（0，3），C（3，0），P为线段AB上一动点（不含端点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接PC，求PA+$\sqrt{5}$PC的最小值；
（3）过点P作PM∥y轴交抛物线于M，当△PMB为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（0，3），C（3，0）的坐标代入y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{\frac{9}{2}+3m+n=0}\end{array}\right.$，解方程组即可．
（2）如图，作AN∥x轴，PE⊥AN于E，CE′⊥AN于E′，交AB于P′．由题意直线AB与x轴的交点D（6，0），OA=3，OD=6，AD=3$\sqrt{5}$，推出sin∠ADO=sin∠EAP=$\frac{OA}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，推出PE=PA•$\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以PA+$\sqrt{5}$PC=$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$•PA+PC）=$\sqrt{5}$（PE+PC），根据垂线段最短可知，当C、P、E共线时，PE+PC最短，PE+PC最小值=CE′=OA=3．
（3）分三种情形讨论①当PM=PB时，如图2中，作BE⊥PM于E．根据PB=$\sqrt{5}$PE=PM，列出方程即可解决问题．②当MP=MB时，如图3中，延长BM交y轴于E，作EN⊥AB，则EN是线段AB的中垂线．求出直线EN的解析式，列方程组即可．③当BP=BM时，根据线段PM的中点的纵坐标与点B的纵坐标相等列出方程即可．

解答 解：（1）把A（0，3），C（3，0）的坐标代入y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{\frac{9}{2}+3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{2}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3．

（2）如图，作AN∥x轴，PE⊥AN于E，CE′⊥AN于E′，交AB于P′．

∵直线AB与x轴的交点D（6，0），
∴OA=3，OD=6，AD=3$\sqrt{5}$
∴sin∠ADO=sin∠EAP=$\frac{OA}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴PE=PA•$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵PA+$\sqrt{5}$PC=$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$•PA+PC）=$\sqrt{5}$（PE+PC），
根据垂线段最短可知，当C、P、E共线时，PE+PC最短，PE+PC最小值=CE′=OA=3，
∴PA+$\sqrt{5}$PC的最小值为3$\sqrt{5}$．

（3）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴B（4，1），设p（m，-$\frac{1}{2}$m+3），则M（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+3），
①当PM=PB时，如图2中，作BE⊥PM于E．

∵BE=2PE，BE=4-m，
∴PE=2-$\frac{1}{2}$m，PB=PM=$\sqrt{5}$PE=$\sqrt{5}$（2-$\frac{1}{2}$m），
∴-$\frac{1}{2}$m+3-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+3）=$\sqrt{5}$（2-$\frac{1}{2}$m），
解得m=$\sqrt{5}$或4（舍弃），
∴P（$\sqrt{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{2}$+3）．
②当MP=MB时，如图3中，延长BM交y轴于E，作EN⊥AB，则EN是线段AB的中垂线．

∵线段AB的中垂线EN的解析式为y=2x-2，
∴E（0，-2），
∴直线BE的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-2，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）．
③当BP=BM时，线段PM的中点的纵坐标与点B的纵坐标相等，
∴$\frac{1}{2}$[（-$\frac{1}{2}$m+3）+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+3）]=1，
解得m=2或4（舍弃），
∴P（2，2）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（$\sqrt{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{2}$+3）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）或（2，2）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、垂线段最短、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，第二个问题的关键是，用转化的思想思考问题，把问题，转化为垂线段最短解决，第三个问题的关键是学会用分类讨论的解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．