如图1,正方形ABCD中,点H在BC上,连接DH交正方形对角线AC于点E,过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G。
(1)求证:
(2)判断DH、FG的数量关系,并说明理由;
(3)在图1中,延长FG与BC交于点P,连接DF、DP(如图2),试探究DF与DP的关系,并说明理由。
解:(1)证明:如图
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,∠DCB=∠BAD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=AD
∴∠1=∠3,∠2+∠4=90°
∵DH⊥FG,
∴∠DEG=90°
∴∠3+∠4=90°,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2.
(2)DH=FG
证明:过点F作FP垂直于DC,垂足为P,
∴∠FPD=90°,
∵∠BAD=∠ADC=∠FPG=90°,
∴四边形AFPD是矩形,
∴AD=FP,
∴∠2=∠3,∠FPG=∠BCD,FP=CD,
∴△FPG≌△DCH,
∴PF=DC
(3)如图2,过点E分别作AD、BC的垂线,交AD、BC于点M、N,交AB、CD于点R、T.
∵点E在AC上,可得四边形AREM、ENCT是正方形.
∴△FRE≌△DME≌△ENP,
∴FE=DE=EP,
又∵DE⊥FP,
∴DF与DP的关系为相等且垂直
解析
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