Question

9．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，E为AB的中点，连接CE，BD，过点E作FE⊥CE于点E，交AD于点F，连接CF，已知2AD=AB=BC．
（1）求证：CE=BD；
（2）若AB=4，求AF的长度；
（3）求sin∠EFC的值．

Answer 1

分析 （1）由E为AB的中点，得到AB=2BE，等量代换得到BE=AD，推出△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到AE=BE=2，BC=4，根据余角的性质得到∠AFE=∠BEC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据相似三角形的性质得到AF=$\frac{1}{2}$AE，设AF=k，则AE=BE=2k，BC=4k，根据勾股定理得到EF=$\sqrt{5}$k，CE=2$\sqrt{5}$k，CF=5k，由三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）∵E为AB的中点，
∴AB=2BE，
∵AB=2AD，
∴BE=AD，
∵∠A=90°，AD∥BC，
∴∠ABC=90°，
在△ABD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠ABC}\\{AD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE，
∴CE=BD；

（2）∵AB=4，
∴AE=BE=2，BC=4，
∵FE⊥CE，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEC=90°，
∴∠AFE=∠BEC，
∴△AEF∽△BCE，
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{AE}{BC}$，
∴AF=1；

（3）∵△AEF∽△BCE，
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{AE}{BC}$，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE，
设AF=k，则AE=BE=2k，BC=4k，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$k，
CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$k，
∴CF=$\sqrt{E{F}^{2}+C{E}^{2}}$=5k，
∴sin∠EFC=$\frac{CE}{CF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．