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如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G,连接EG、FG。
(1)设AE=x时,△EGF的面积为y,求y关于x的函数关系式,并填写自变量x的取值范围;
(2)P是MG的中点,请直接写出点P运动路线的长。
解:(1)当点E与点A重合时,x=0,y=×2×2=2;
当点E与点A不重合时,0<x≤2
在正方形ABCD中,∠A=∠ADC=90°,
∴∠MDF=90°,
∴∠A=∠MDF
∵AM=DM,∠AMF=∠DMF,
∴△AME≌△DMF,
∴ME=MF
在Rt△AME中,AE=x,AM=1,ME=
∴EF=2MF=2
过点M作MN⊥BC,垂足为N(如图)
则∠MNG=90°,∠AMN=90°,MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°,
∴∠GMN+∠EMN=90°,
∴∠AME=∠GMN,
∴Rt△AME∽Rt△NMG
,即
∴MG=2ME=2
∴y=EF·MG=×2×2=2x2+2,
∴y =2x2+2,其中0≤x≤2。
(2)点P运动路线的长为2。
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