Question

如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG。

（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并填写自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长。

Answer 1

解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2； 当点E与点A不重合时，0＜x≤2 在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°， ∴∠MDF=90°， ∴∠A=∠MDF ∵AM=DM，∠AMF=∠DMF， ∴△AME≌△DMF， ∴ME=MF 在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME= ∴EF=2MF=2 过点M作MN⊥BC，垂足为N（如图） 则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM ∴∠AME+∠EMN=90° ∵∠EMG=90°， ∴∠GMN+∠EMN=90°， ∴∠AME=∠GMN， ∴Rt△AME∽Rt△NMG ∴，即 ∴MG=2ME=2 ∴y=EF·MG=×2×2=2x2+2， ∴y =2x2+2，其中0≤x≤2。
（2）点P运动路线的长为2。