Question

17．如图所示，MP和 NQ分别垂直平分AB 和AC．
（1）若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数；
（2）若∠PAQ=25°，求∠BAC的度数．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和等于180°求出∠ABP+∠ACQ=75°，再根据线段垂直平分线的性质∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，所以∠PAB+∠QAC=75°，便不难求出∠PAQ的度数为30°；
（2）根据线段垂直平分线的性质，得AP=BP，AQ=CQ，则∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，则∠APQ=2∠B，∠AQP=2∠C；根据三角形的内角和定理，得∠APQ+∠AQP=180°-∠PAQ=150°，则∠B+∠C=75°，进而求解．

解答 解：（1）∵∠BAC=105°，
∴∠ABP+∠ACQ=180°-105°=75°，
∵MP、NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PB=PA，QC=QA．
∴∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，
∴∠PAB+∠QAC=∠ABP+∠ACQ=75°，
∴∠PAQ=105°-75°=30°；

（2）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，
∴∠APQ=2∠B，∠AQP=2∠C．
∵∠PAQ=25°，
∴∠APQ+∠AQP=180°-∠PAQ=155°，
∴∠B+∠C=77.5°．
∴∠BAC=∠B+∠C+∠PAQ=77.5°+25°=102.5°．

点评 此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．