精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
13.已知△ABC中,AB=AC=5,cosB=$\frac{3}{5}$,将△ABC绕点C旋转,得到△A1B1C.
(1)如图1,若点B1在线段BA的延长线上
①求证:AB∥A1C;
②求△AB1C的面积;
(2)如图2,点D为线段AC中点,点E是线段AB上的动点,在△ABC绕点C旋转过程中,点E的对应点是点E1,求线段DE1长度的最大值和最小值.

分析 (1)①根据旋转的性质和平行线的性质证明;
②过A作AF⊥BC于F,过C作CM⊥AB于M,根据三角函数和三角形的面积公式解答;
(2)过C作CE⊥AB于E,以C为圆心CE为半径画圆交AC于E1,得出最小值解答即可.

解答 解:(1)①证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵B1C=BC
∴∠1=∠B,
∵∠2=∠ACB(旋转角相等),
∴∠1=∠2,
∴AB∥A1C;
②过A作AF⊥BC于F,过C作CM⊥AB于M,如图1,

∵AB=AC,AF⊥BC
∴BF=CF
∵$cosB=\frac{3}{5}$,AB=5,
∴BF=3
∴BC=6
∴B1C=BC=6,
∵CM⊥AB
∴BM=B1M=$\frac{18}{5}$
∴BB1=$\frac{36}{5}$,CM=$\frac{24}{5}$,
∴AB1=$\frac{36}{5}-5=\frac{11}{5}$,
∴△AB1C的面积为:$\frac{1}{2}×\frac{11}{5}×\frac{24}{5}=\frac{132}{25}$;
(2)如图2过C作CE⊥AB于E,以C为圆心CE为半径画圆交AC于E1,DE1有最小值.

此时在Rt△BEC中,CE=$\frac{24}{5}$,
∴CE1=$\frac{24}{5}$,
∴DE1的最小值为CE1-CD=$\frac{24}{5}-\frac{5}{2}=\frac{23}{10}$;
如图,以C为圆心BC为半径画圆交AC的延长线于E1
DE1有最大值.
此时DE1=DC+BC=$\frac{5}{2}$+6=$\frac{17}{2}$.

点评 此题考查几何变换问题,关键是根据旋转的性质和三角形的面积公式进行解答.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

3.抛物线C1:y=a(x+1)(x-3a)(a>0)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,-3)
(1)求抛物线C1的解析式及A,B点坐标;
(2)求抛物线C1的顶点坐标;
(3)将抛物线C1向上平移3个单位长度,再向左平移n(n>0)个单位长度,得到抛物线C2,若抛物线C2的顶点在△ABC内,求n的取值范围.
(在所给坐标系中画出草图C1

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

4.如图所示,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}$AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为(  )
A.45°B.55°C.60°D.65°

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

1.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$,点D在OB上,点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为2$\sqrt{2}$时,则阴影部分的面积为2π-4.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,若∠A=30°,CD=2,求AC的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

18.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,动点E从点A出发自终点B运动,过点E作DE⊥AC交AC于点D,点A关于ED的对称点为点P,点P落在射线AC上,过点E作EF⊥BC交BC于点F,连接PE,PF;设AE=5x.
(1)则DE=3x,AD=4x(用x的代数式表示);
(2)当x为何值时,△EFP是等腰三角形?
(3)如图2,当点E关于直线FP的对称点E'恰好落在射线AC上时,则$\frac{{S}_{△EPF}}{{S}_{△EPA}}$的值为$\frac{5}{8}$.(直接写出答案即可)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

5.我国大飞机C919于2017年5月5日成功首飞,其设计最大飞行高度约为12 100米,将数字12 100用科学记数法表示为(  )
A.121×102B.12.1×103C.1.21×104D.0.121×105

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,AE⊥AD,交CB的延长线于点E.若AB=1,AC=2,则AE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

4.在△ABC中,AB=AC=5,点D为BC边上一点,且AD=4,BD=3,则DC=3.

查看答案和解析>>

同步练习册答案