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在直角坐标系xOy 中,已知某二次函数的图象经过A(-4,0)、B(0,-3),与x轴的正半轴相交于点C,若△AOB∽△BOC(相似比不为1).
小题1:(1)求这个二次函数的解析式;
小题2:(2)求△ABC的外接圆半径r;
小题3:(3)在线段AC上是否存在点M(m,0),使得以线段BM为直径的圆与线段AB交于N点,且以点O、A、N为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

小题1:⑴∵△AOB∽△BOC(相似比不为1),
. 又∵OA="4," OB=3,
∴OC=32×=. ∴点C(, 0).                         …………………1分
设图象经过A、B、C三点的函数解析式是y=ax2+bx+c,
则c= -3,且                       …………………2分

解得,a=, b=.
∴这个函数的解析式是y =x2+x-3. 
小题2:⑵∵△AOB∽△BOC(相似比不为1),
∴∠BAO=∠CBO.
又∵∠ABO+ ∠BAO =90°,
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°.             ………………4分
∴AC是△ABC外接圆的直径.
∴ r =AC=×[-(-4)]=.
小题3:⑶∵点N在以BM为直径的圆上,
∴∠MNB=90°.                                     ……………………6分
①.    当AN=ON时,点N在OA的中垂线上,
∴点N1是AB的中点,M1是AC的中点.
       ∴AM1=" r" =,点M1(-, 0),即m1= -.             ………………7分
②.     当AN=OA时,Rt△AM2N2≌Rt△ABO,
∴AM2=AB=5,点M2(1, 0),即m2=1.
③. 当ON=OA时,点N显然不能在线段AB上.
综上,符合题意的点M(m,0)存在,有两解:
m= -,或1.   
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