Question

10．抛物线过A（-1，0），B（3，0），C（1，-4）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使S_△ABP=2？如果存在，求出点P坐标；如果不存在．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A与B的坐标特点设出抛物线解析式为y=a（x-2）（x-4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式；
（2）根据S_△ABP=2求出P点纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标即可．

解答 解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（1，-4）代入得：-4a=-4，即a=1．
则抛物线解析式为y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3．
（2）在抛物线上存在点P，使S_△ABP=2．
理由：∵S_△ABP=2，AB=4，
∴P点纵坐标可能为：±1，
当y=1，
∴1=x²-2x-3．
解得：x₁=1+$\sqrt{5}$，x₂=1-$\sqrt{5}$，
当y=-1，
∴-1=x²-2x-3．
解得：x₃=1+$\sqrt{3}$，x₄=1-$\sqrt{3}$，
∴P点坐标为：（1+$\sqrt{5}$，1）或（1-$\sqrt{5}$，1）或（1+$\sqrt{3}$，-1）或（1-$\sqrt{3}$，-1）．

点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．