Question

如图①，已知二次函数的解析式是y=ax²+bx（a＞0），顶点为A（1，-1）．
（1）a=

 

；
（2）若点P在对称轴右侧的二次函数图象上运动，连结OP，交对称轴于点B，点B关于顶点A的对称点为C，连接PC、OC，求证：∠PCB=∠OCB；
（3）如图②，将抛物线沿直线y=-x作n次平移（n为正整数，n≤12），顶点分别为A₁，A₂，…，A_n，横坐标依次为1，2，…，n，各抛物线的对称轴与x轴的交点分别为D₁，D₂，…，D_n，以线段A_nD_n为边向右作正方形A_nD_nE_nF_n，是否存在点Fn恰好落在其中的一个抛物线上，若存在，求出所有满足条件的正方形边长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用顶点坐标，进而代入求出即可；
（2）根据题意得出

DO

CD

=

1

m

，

PH

CH

=

m-1

m2-m

=

1

m

，进而得出△ODC∽△PHC，求出即可；
（3）由题意得出：A₁（1，-1），A₂（2，-2），A₃（3，-3），…A_n（n，-n），进而得出F₁（2，-1），F₂（4，-2），F₃（6，-3），…F_n（2n，-n）..，即可分类讨论得出n的值．

解答：（1）解：∵二次函数的解析式是y=ax²+bx（a＞0），顶点为A（1，-1），
∴

a+b=-1 - b 2a =1

，
解得：

a=1 b=-2

．
故答案为：1；

（2）证明：由（1）得，抛物线的解析式为：y=x²-2x，
设P（m，m²-2m），则直线OP的解析式为：y=（m-2）x，
∴B（1，m-2），∴C（1，-m），
过点P作PH⊥CD于点H，则PH=m-1，CH=m²-m，
∴

DO

CD

=

1

m

，

PH

CH

=

m-1

m2-m

=

1

m

，
∵∠ODC=∠PHC，
∴△ODC∽△PHC，
∴∠PCB=∠OCB；

（3）解：由题意得出：A₁（1，-1），A₂（2，-2），A₃（3，-3），…A_n（n，-n），
∴F₁（2，-1），F₂（4，-2），F₃（6，-3），…F_n（2n，-n）…
若F_n恰好落在其中的第m个抛物线上（m为正整数，m≤12），
则该抛物线解析式为：y=（x-m）²-m，
将F_n代入得：-n=（2n-m）²-m，
即（2n-m）²=m-n，
∴m-n是一个平方数，只能是0，1，4，9，
当m-n=0时，2n-m=0，∴m=n=0（舍去）；
当m-n=1时，2n-m=1或-1，∴n=2或0（舍去）；
当m-n=4时，2n-m=2或-2，∴n=2或6；
当m-n=9时，2n-m=3或-3，∴n=6（舍去）或12（舍去）．
综上所述，正方形边长n的值可以是2，6．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及相似三角形的判定与性质以及图象上点的坐标性质等知识，根据题意得出m-n是一个平方数进而分类讨论得出是解题关键．