Question

已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直线MN是梯形的对称轴，P是MN上的一点．直线BP交直线DC于F，交CE于E，且CE∥AB．
（1）若点P在梯形的内部，如图①．求证：BP²=PE•PF；
（2）若点P在梯形的外部，如图②，那么（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接PC，
直线MN是等腰梯形ABCD的对称轴，
∴BP=CP，∠PBC=∠PCB，∠ABC=∠DCB，
∵CE∥AB
∴∠E=∠ABE
∴∠PCD=∠E
∵∠FPC=∠FPC
∴△PCF∽△PEC
∴PC：PE=PF：PC
∴BP²=PE•PF；

（2）成立．
连接PC，
理由：直线MN是等腰梯形ABCD的对称轴，
∴BP=CP，∠PBC=∠PCB，∠ABC=∠DCB，
∵CE∥AB，
∴∠CEF=∠ABE，
∴∠ABC=∠BCE，∠PCE=∠BCE-∠BCP=∠ABC-∠CBP=∠DCB-∠CBP=∠F，即∠F=∠DCB-∠CBF，
∵∠FPC=∠FPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴PC：PE=PF：PC，
∴BP²=PE•PF．