Question

20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P在x轴正半轴上，⊙P交x轴负半轴于点C，交y轴交于D、E，且C（-1，0），DE=2$\sqrt{3}$
（1）求点P的坐标
（2）若直线l：y=k（x-5）（k为常数，k≠0）交x轴于点A，交y轴于点B，
①点A的坐标为（5，0）（请直接写出答案）
②当直线l与⊙P的相切时，求k的值
③若在y轴右侧的直线l上只存在一个点M，使∠DMC=30°，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先确定出DF，然后用勾股定理即可求出圆的半径，即可得出结论；
（2）①令y=0解出x的只即可；②由切线得出PN=2，再用勾股定理得出AN，用锐角三角函数即可得出k的值，③判断出直线l与⊙相切时和相交时，两种情况讨论计算．

解答 解：（1）如图1，∵C（-1，0），
∴OC=1，
∵DE=2$\sqrt{3}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{3}$，
∴PF=PC-OC=PD-1，
根据勾股定理得，DP²-PF²=DF²，
∴DP²-（DP-1）²=3，
∴DP=2，
∴OP=1，
∴P（0，1），
（2）①令y=0，则k（x-5）=0，
∵k≠0，
∴x=5，
∴A（5，0），
故答案为：（5，0）；
②如图1，过点P作PN⊥AN于N，
由①知，A（5，0），
∴OA=5，
∴PA=4，
∵直线l与⊙P的相切，
∴PN=PD=2
，根据勾股定理得，AN=$\sqrt{A{P}^{2}-P{N}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠PAN=$\frac{PN}{AN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
③∵C（-1，0），D（0，$\sqrt{3}$），
∴CD=2，
∵DP=2，
∴∠CPD=60°，
∵在y轴右侧的直线l上只存在一个点M，使∠DMC=30°，
∴点M在⊙P上，即：直线l与⊙P相切或与⊙P相交，且一个交点在y轴左侧；
Ⅰ，直线l与⊙P相切时，k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
Ⅱ，直线l与⊙P相交，且一个交点在y轴左侧时，k=tan∠DAC=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{5}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
即：k的取值范围为：-$\frac{\sqrt{3}}{5}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{5}$，或k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质，直线和圆相交的特点，锐角三角函数，解本题的关键是理解直线与x轴的夹角的正切值是此直线的斜率k的绝对值，是一道比较简单的中考常考题．