Question

10．抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+x+n-1的顶点在直线y=x+3上．过点（-2.2）的直线交该抛物线于点M．N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含n的代数式表示），再求n的值；
（2）若点R（-2，0），连接MR、RN，延长RN交y轴于点C，求证：∠MRC=2∠RCO；
（3）问$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$的值是否发生变化？若变化，请求出变化范围；若不变，请求出其值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出抛物线顶点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）首先利用两点间距离公式证明MA=MG，同理可得NG=NB，再证明△MAR∽△NBR，推出∠ARM=∠NRB，由∠GRA=∠GRB=90°，推出∠MRG=∠NRG，由GR∥OC，推出∠GRN=∠RCO，可得∠MRN=2∠RCO．
（3）如图3中，$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$的值是定值．连接BM交GR于K，连接AK，KN．首先证明A、K、N共线，由AM∥GR∥BN，推出$\frac{GK}{AM}$=$\frac{GN}{NM}$=$\frac{RB}{AB}$=$\frac{RK}{AM}$，推出GK=RK=1，由$\frac{KR}{AM}$=$\frac{RB}{AB}$，$\frac{RK}{NB}$=$\frac{AR}{AB}$，推出$\frac{KR}{AM}$+$\frac{RK}{NB}$=$\frac{RB}{AB}$+$\frac{AR}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1，推出$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$=$\frac{1}{KR}$=1即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{4}$x²+x+n-1=$\frac{1}{4}$（x+2）²+n-2，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，n-2），
∵抛物线y=$\frac{1}{4}$²+x+n-1的顶点在直线y=x+3上，
∴n-2=-2+3，
∴n=3．

（2）设M（m，$\frac{1}{4}$m²+m+2），G（-2，2），
∴MG=$\sqrt{（m+2）^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}+m）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{16}{m}^{2}+2•\frac{1}{4}{m}^{2}（m+2）+（m+2）^{2}}$
=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}+m+2）^{2}}$
=$\frac{1}{4}$m²+m+2，
∴MA⊥x轴，
∴AM=$\frac{1}{4}$m²+m+2，同理可证NG=NB，
∵R（-2，0），G（-2，2），BN⊥OR，
∴AM∥GR∥BN，
∴$\frac{GM}{GN}$=$\frac{AR}{RB}$，
∴$\frac{AM}{BN}$=$\frac{AR}{BR}$，
∵∠MAR=∠RBN，
∴△MAR∽△NBR，
∴∠ARM=∠NRB，
∵∠GRA=∠GRB=90°，
∴∠MRG=∠NRG，
∵GR∥OC，
∴∠GRN=∠RCO，
∴∠MRN=2∠RCO．

（3）如图3中，$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$的值是定值．

连接BM交GR于K，连接AK，KN．
∵GK∥BN，
∴$\frac{MG}{GN}$=$\frac{MK}{KB}$，∵MA=MG，NG=NB，
∴$\frac{AM}{BN}$=$\frac{MK}{KB}$，
∵AM∥BN，
∴∠AMK=∠NBK，
∴△AMK∽△NBK，
∴∠AKM=∠NKB，
∵∠NKB+∠MKN=180°，
∴∠AKM+∠MKN=180°，
∴A、K、N共线，
∵AM∥GR∥BN，
∴$\frac{GK}{AM}$=$\frac{GN}{NM}$=$\frac{RB}{AB}$=$\frac{RK}{AM}$，
∴GK=RK=1，
∵$\frac{KR}{AM}$=$\frac{RB}{AB}$，$\frac{RK}{NB}$=$\frac{AR}{AB}$，
∴$\frac{KR}{AM}$+$\frac{RK}{NB}$=$\frac{RB}{AB}$+$\frac{AR}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1，
∴$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$=$\frac{1}{KR}$=1．
∴$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$的值是定值，
∴$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$=1．

点评 本题考查二次函数综合题、两点间距离公式、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用平行线分线段成比例定理，解决线段之间的关系问题，属于中考压轴题．