Question

9．在钟盘上时针和分针恰好互相垂直，并且此时表示的时间恰好是整点的时间有3或9；一天24小时，时针与分针互相垂直44次；从2点整开始，分针经过$\frac{300}{11}$分钟第一次与时针垂直；从5点整开始，分针经过$\frac{120}{11}$分钟第一次与时针垂直．

Answer 1

分析 ①可画出草图，利用钟表表盘的特征解答．
②一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，所以分针要超过时针24-2=22（圈），分针每超过时针一圈，前后各有一次垂直，所以一天24小时中分针与时针垂直的次数是[（24-2）×2]次，据此解答．
③设再经过x分钟，时针与分针的夹角是90°，则分针转了6x°，时针转了$\frac{1}{2}$x°，列出方程即可解决问题．
④设再经过x分钟，时针与分针的夹角是90°，则分针转了6x°，时针转了$\frac{1}{2}$x°，列出方程即可解决问题．

解答 解：①∵时针与分针恰好互相垂直，且此时恰好为整点．
∴此时表示的时间是3或9点；

②一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，所以分针要超过时针的圈数是：24-2=22（圈），
分针每超过时针一圈，前后各有一次垂直，所以一天24小时中分针与时针垂直的次数是：
（24-2）×2，
=22×2，
=44（次）．

③2点整时，分钟与时针的夹角为30°×=160°．
设再经过x分钟，时针与分针的夹角是90°，则分针转了6x°，时针转了$\frac{1}{2}$x°，
由已知得6x-（60°+$\frac{1}{2}$x）=90，
解得x=$\frac{300}{11}$．

④5点整时，分钟与时针的夹角为30°×5=150°．
设再经过x分钟，时针与分针的夹角是90°，则分针转了6x°，时针转了$\frac{1}{2}$x°，
由已知得：150-6x+$\frac{1}{2}$x=90，
解得：x=$\frac{120}{11}$．
故答案分别为3或9，44，$\frac{300}{11}$，$\frac{120}{11}$．

点评 本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟转动6°，时针每分钟转动（$\frac{1}{2}$）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形，构建方程解决问题，属于中考常考题型．