Question

【题目】先阅读材料，再结合要求回答问题．

【问题情景】

如图①：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且线段BE，EF，FD满足BE＋FD＝EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．

【初步思考】

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG＝BE，连结AG．

先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，

可得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是 ．

【探索延伸】

若将问题情景中条件“∠B＝∠ADC＝90°”改为“∠B＋∠D＝180°”（如图②），其余条件不变，请判断上述数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【实际应用】

如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处且相距210海里．试求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．

Answer 1

【答案】【初步思考】∠EAF＝∠BAD；【探索延伸】∠EAF ＝∠BAD仍然成立．证明见解析【实际应用】∠EAF＝70°．

【解析】

试题分析：【初步思考】根据条件△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，可得∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠GAF,然后根据角的和差关系可得∠EAF＝∠BAD；【探索延伸】类比【初步思考】中的探究方法可证∠EAF ＝∠BAD仍然成立；【实际应用】连接EF，延长AE、BF相交于点C，根据条件得出图形符合探索延伸中的条件，然后可得∠EOF＝∠AOB，根据条件得出∠AOB＝140°，然后可得结论.

试题解析：【初步思考】∠EAF＝∠BAD；……………………………3分

【探索延伸】∠EAF ＝∠BAD仍然成立．……………………………4分

如图，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG．

∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，…………………5分

在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS）．

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．

又∵EF＝BE＋DF，DG＝BE，∴EF＝DG＋DF＝GF．……………………6分

在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SSS）．

∴∠EAF＝∠GAF． ………………………………………………………7分

又∵∠GAF＝∠DAG＋∠DAF，∴∠EAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF．

而∠EAF＋∠BAE＋∠DAF＝∠BAD，∴∠EAF ＝∠BAD．……………………8分

【实际应用】

如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C．

∵1.5小时后，舰艇甲行驶了90海里，舰艇乙行驶了120海里，

即AE＝90，BF＝120． ……………………………………………………… 9分

而EF＝210，∴在四边形AOBC中，有EF＝AE＋BF．

又∵OA＝OB，且∠OAC＋∠OBC＝（90°－30°）＋（70°＋50°）＝180°，

∴符合探索延伸中的条件． ……………………………………………… 10分

∴∠EOF＝∠AOB． ……………………………………………………… 11分

又∵∠AOB＝30°＋90°＋（90°－70°）＝140°，

∴∠EAF＝∠AOB＝70°．…………………………………………………… 12分

答：此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小为70°．