Question

15．如图，∠ABC=45°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，顶点A、D分别再∠ABC的两边BA、BC上滑动（不与点B重合），△ADE的外接圆交BC于点F，O为圆心．
（1）直接写出∠AFE的度数；
（2）当点D在点F的右侧时，
①求证：EF-DF=$\sqrt{2}$AF；
②若AB=4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$＜BE≤4$\sqrt{13}$，求⊙O的面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质和圆周角定理即可得到结论；
（2）①根据已知条件得到AB=AF，∠BAF=90°推出△ABD≌△AFE，根据全等三角形的性质得到BD=EF，由线段的和差得到EF-DF=BD-DF=BF，根据三角函数的定义得到BF=$\sqrt{2}$AF，即可得到结论；
②由（2）①得BD=EF，根据已知条件得到BF=8，根据勾股定理得到8$\sqrt{2}$＜BE≤4$\sqrt{13}$，求得8＜EF＜12，于是得到S=$\frac{π}{2}$（x-4）²+8π，根据二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∠AFE=45°，连接AF，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AFE=∠EDF=45°；

（2）①连接EF，
∵∠EFD=∠EAD=90°，
∴∠BFE=90°，
∵∠AFE=45°，
∴∠AFB=∠AFE=45°，
∴AB=AF，∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠FAE，
在△ABD和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠FAE}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AFE，
∴BD=EF，
∴EF-DF=BD-DF=BF，
∵AF=BF•cos∠AFB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，即BF=$\sqrt{2}$AF，
∴EF-DF=$\sqrt{2}$AF；
②由（2）①得BD=EF，
∵∠BAF=90°，AB=4$\sqrt{2}$，
∴BF=$\frac{AB}{cos∠ABF}$=$\frac{4\sqrt{2}}{cos45°}$=8，
设BD=x，则EF=x，DF=x-8，
∵BE²=EF²+BF²，8$\sqrt{2}$＜BE≤4$\sqrt{13}$，
∴128＜EF²+8²＜208，
∴8＜EF＜12，即8＜x＜12，
∴S=$\frac{π}{4}$DE²=$\frac{π}{4}$[x²+（x-8）²]=$\frac{π}{2}$（x-4）²+8π，
∵$\frac{π}{2}$＞0，
∴抛物线的开口向上，
∵抛物线的对称轴为直线x=4，
∴当8＜x≤12时，16π＜S≤40π．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，二次函数的性质，连接EF构造直角三角形是解题的关键．