Question

13．如图1是美国第20届总统加菲尔德于1876年公开发表的勾股定理一个简明证法，聪明的思齐和他的社团小朋友们发现：两个直角三角形在发生变化过程中，只要满足一定的条件，就会有神奇的结果：
（1）问题：若把两个变换的三角形拼成如图2所示四边形ABCD，点P为AB上一点，且∠DPC=∠A=∠B=90°．
求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究：继续变换图形，如图3，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图4，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，点C在边BD上，且满足∠DPC=∠A，问：经过几秒后CD长度等于D到AB的距离？

Answer 1

分析 （1）欲证明AD•BC=AP•BP，只要证明△ADP∽△BPC即可．
（2）结论不变．只要证明△ADP∽△BPC即可．
（3）如图4中，设经过t秒点D到AB的距离等于CD长，过点D作DE⊥AB于E．利用（2）的结论构建方程即可．

解答 解：（1）证明：如图2中，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP．

（2）结论AD•BC=AP•BP仍然成立．
理由：如图3中，

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADO，
∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠ADP，又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP．

（3）如图4中，设经过t秒点D到AB的距离等于CD长，过点D作DE⊥AB于E．

∵AD=BD=10，AB=12，
∴AE=BE=6，
在RT△ADE中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴DC=DE=8，
∴BC=10-8=2，
又∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由（2）可知AD•BC=AP•BP，
又AP=t，BP=12-t，
∴t（12-t）=10×2，
解得t=2或10，
∴t的值为2秒或10秒．

点评 本题考查相似综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形的条件，解题时注意图形发生变化，结论不变，证明方法完全类似，属于中考压轴题．