Question

三角形角平分线交点或三角形内切圆的圆心都称为三角形的内心．按此说法，四边形的四个角平分线交于一点，我们也称为“四边形的内心”．
（1）试举出一个有内心的四边形．
（2）探究：对于任意四边形ABCD，如果有内心，则四边形的边长具备何种条件？
（3）探究：腰长为2的等腰直角三角形ABC，∠C=90°，O是△ABC的内心，若沿图中虚线剪开，O仍然是四边形ABDE的内心，此时裁剪线有多少条？为什么？
（4）问题（3）中，O是四边形ABDE内心，且四边形ABDE是等腰梯形，求DE的长？

Answer 1

【答案】分析：（1）对角线平分每一对角的四边形都可以，如菱形、正方形；
（2）对于任意四边形ABCD，如果有内心，则四边形的边长具备条件是对边和相等；
（3）根据O到AB的距离等于O到DE的距离，即可得到答案；
（4）由勾股定理求出AB=2，过D作DF⊥AB于F，过E作EQ⊥AB于Q，得到平行四边形DEQF，推出DE=FQ，DF=EQ，根据等腰直角三角形得出AF=DF=BQ=QE，设DC=x，由勾股定理求出DE、AF、BQ的长，即AF+FQ+BQ=2，代入即可求出答案．
解答：（1）答：一个有内心的四边形是菱形．

（2）答：对于任意四边形ABCD，如果有内心，则四边形的边长具备条件是对边和相等．

（3）解：有无数条，
理由是根据角平分线的性质得到：O到AB的距离等于O到DE的距离，在△ABC内有无数条，如图：具备DE∥AB即可．
（4）

解：等腰直角三角形ACB，AC=BC=2，由勾股定理得：AB=2，
过D作DF⊥AB于F，过E作EQ⊥AB于Q，
∴DF∥EQ，
∵DE∥AB，
∴四边形DEQF是平行四边形，
∴DE=FQ，DF=EQ，
∵∠A=∠B=45°，
∴AF=DF，
同理BQ=QE，
设DE=x，AB=2，过C作CM⊥BC，交DE与N点，
由AB=AC，根据三线合一可得CM=，
由三角形的面积有两种求法，S=AC•BC=（AC+BC+AB）•OM，
即4=（2+2+2）×OM，解得：OM=2-，
∴NM=2OM=4-2，CN=-（4-2）=3-4，
又△CDE∽△CAB，
∴=，即=，
解得：x=6-8，
则DE=6-8．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，三角形的内切圆与内心，等腰题型的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定难度．