Question

某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：

销售单价x （元/件）	…	55	60	70	75	…
一周的销售量y （件）	…	450	400	300	250	…

（1）直接写出y与x的函数关系式：                           ．
（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？

Answer 1

（1）y=-10x+1000
（2）当50≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大
（3）8750元

（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；
（2）根据利润=（售价-进价）×销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着销售单价的增大而增大的销售单价的范围；
（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可．
解：（1）设y=kx+b，
由题意得，

解得：

则函数关系式为：y=-10x+1000；
（2）由题意得，S=（x-40）y
=（x-40）（-10x+1000）
=-10x²+1400x-40000
=-10（x-70）²+9000，
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，
∴当50≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；
（3）由40（-10x+1000）≤10000
解得x≥75
∴当x=75时，利润最大，为8750元．