Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，
（1）如图1：若EA=CE，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2：若EA=2CE，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；
（3）若EA=kCE，探索线段EF与EG的数量关系，请直接写出你的结论．

Answer 1

分析：（1）作EH⊥CD，EQ⊥AB，利用AAS先证△AEQ≌△ECH，易得EQ=EH，把EQ=EH作为一个条件，再利用ASA易证Rt△EFQ≌Rt△EGH，从而有EF=EG；
（2）作EH⊥CD，EQ⊥AB，先证△EFQ∽△EGH，易得

EF

EG

=

EQ

EH

，再证△AQE∽△EHC，那么

EA

EC

=

EQ

EH

=

2

1

，等量代换易得

EF

EG

=2，于是EF=2EG；
（3）根据（1）（2）的结论易得EF=kEG．

解答：证明：作EH⊥CD，EQ⊥AB，
∵AC=BC，CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°，
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，
∴∠AQE=∠EHC=90°，
又∵EA=CE，
∴△AEQ≌△ECH，
∴EQ=EH，
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，CD⊥AB，
∴四边形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEB，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，EQ=EH，
∴Rt△EFQ≌Rt△EGH，
∴EF=EG；
（2）作EH⊥CD，EQ⊥AB（如图2），
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，CD⊥AB，
∴四边形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEB，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH，
∴

EF

EG

=

EQ

EH

，
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°，
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，
∴∠AQE=∠EHC=90°，
∴△AQE和△EHC是等腰直角三角形，
∴△AQE∽△EHC，
∴

EA

EC

=

EQ

EH

=

2

1

，
∴

EF

EG

=2，
∴EF=2EG；
（3）EF=kEG．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．