Question

12．如图，点A（m，4），B（-4，n）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D．
（1）若m=2，求n的值；
（2）求m+n的值；
（3）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1，求直线AB的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标代入y=$\frac{k}{x}$求出k的值得到反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$，然后把B（-4，n）代入y=$\frac{8}{x}$可求出n的值；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m=k，-4n=k，然后把两式相减消去k即可得到m+n的值；
（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，利用正切的定义得到tan∠AOE=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{m}{4}$，tan∠BOF=$\frac{BF}{OF}$=$\frac{-n}{4}$，则$\frac{m}{4}$+$\frac{-n}{4}$=1，加上m+n=0，于是可解得m=2，n=-2，从而得到A（2，4），B（-4，-2），然后利用待定系数法求直线AB的解析式．

解答 解：（1）当m=2，则A（2，4），
把A（2，4）代入y=$\frac{k}{x}$得k=2×4=8，
所以反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$，
把B（-4，n）代入y=$\frac{8}{x}$得-4n=8，解得n=-2；
（2）因为点A（m，4），B（-4，n）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
所以4m=k，-4n=k，
所以4m+4n=0，即m+n=0；
（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，
在Rt△AOE中，tan∠AOE=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{m}{4}$，
在Rt△BOF中，tan∠BOF=$\frac{BF}{OF}$=$\frac{-n}{4}$，
而tan∠AOD+tan∠BOC=1，
所以$\frac{m}{4}$+$\frac{-n}{4}$=1，
而m+n=0，解得m=2，n=-2，
则A（2，4），B（-4，-2），
设直线AB的解析式为y=px+q，
把A（2，4），B（-4，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2p+q=4}\\{-4p+q=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=2}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=x+2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．